Engineering And Mathematic

Barisan Aritmetika

Soal 1

Dalam gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri 14 buah, baris kedua berisi 16 buah, baris ketiga 18 buah dan seterusnya selalu bertambah 2. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah ....

A. 54 buah

B. 52 buah

C. 40 buah

D. 38 buah

Pembahasan:

Diketahui:

• Banyak kursi baris pertama (U₁) = 14
• Banyak kursi baris kedua (U₂) =  16 

Ditanyakan:

• Banyak kursi pada baris ke 20 (U₂₀)

Penyelesaian:

Beda (b) = U₂ - U₁

               = 16 - 14

               = 2

Un = a + (n - 1)b

U₂₀ = 14 + (20 - 1).2

U₂₀ = 14 + (19).2

U₂₀ = 14 + 38

U₂₀ = 52

Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 52 buah.

(JAWABAN: B)

Soal 2

Diketahui barisan aritmatika dengan Un adalah suku ke-n. Jika U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165, maka U₁₉ = ...

A.   10

B.   19

C.   28,5

D.   55

E.   82,5

Pembahasan:

Un = a + (n - 1)b

U₂ = a + b

U₁₅ = a + 14b

U₄₀ = a + 39b

U₁₉ = a + 18b

➧ U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165

   (a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165

   3a + 54b = 165

   3(a + 18b) = 165

   3(U₁₉) = 165

   U₁₉ = 55

Jadi, U₁₉ = 55

(Jawaban: D)

Soal 3

Diketahui suatu barisan aritmatika dengan U₃ + U₉ + U₁₁ = 75. Suku tengah barisan tersebut adalah 68 dan banyak sukunya 43, maka U₄₃ = ...

A.   218

B.   208

C.   134

D.   132

E.   131

Pembahasan:

Un = a + (n - 1)b

U₃ = a + 2b

U₉ = a + 8b

U₁₁ = a + 10b

➧ U₃ + U₉ + U₁₁ = 75

   (a + 2b) + (a + 8b) + (a + 10b) = 75

   3a + 20b = 75 ...........(1)

➧ Karena banyak suku barisan tersebut 43, maka:

   Suku tengah = suku ke (43 + 1)/2

                        = suku ke 22

   U₂₂ = 68

   a + 21b = 68

   3a + 63b = 204

   3a = 204 - 63b ........(2)

 ➧ Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (1) diperoleh:

   (204 - 63b) + 20b = 75

   204 - 43b = 75

   43b = 204 - 75

   43b = 129

       b = 3

➧ Subtitusi nilai b = 3 ke persamaan (1) diperoleh:

   3a + 20(3) = 75

   3a + 60 = 75

   3a = 75 - 60

   3a = 15

   a = 5

➧ Suku ke 43

   U₄₃ = a + 42b

          = 5 + 42(3)

          = 5 + 126

          = 131

Jadi, U₄₃ adalah 131

(Jawaban: E)

Deret Aritmetika

Soal 1

Dalam ruang sidang terdapat 15 baris kursi, baris paling depan terdapat 23 kursi, baris berikutnya 2 kursi lebih banyak dari baris di depannya. Jumlah kursi dalam ruangan sidang tersebut adalah ....

A. 385

B. 555

C. 1.110

D. 1.140

Pembahasan:

Diketahui:

• Banyak barisan kursi (n) =15
• Banyak kursi baris pertama (a) = 23
• Beda tiap baris kursi (b) = 2

Ditanyakan:

• Jumlah kursi (S₁₅).

Penyelesaian:

Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)

S₁₅ = (15/2) (2.23 + (15 - 1)2)

S₁₅ = (15/2) (46 + 28)

S₁₅ = (15/2)(74)

S₁₅ = 15 . 37

S₁₅ = 555

Jadi, jumlah kursi dalam ruangan sidang tersebut adalah 555 kursi.

(JAWABAN: B)

Soal 2

Produksi pupuk organik menghasilkan 100 ton pupuk pada bulan pertama, setiap bulannya menaikan produksinya secara tetap 5 ton. Jumlah pupuk yang diproduksi selama 1 tahun adalah  .....

A. 1.200 ton

B. 1.260 ton

C. 1.500 ton

D.1.530 ton

E. 1.560 ton

Pembahasan:

Diketahui:

• Produksi bulan pertama (a) = 100 ton
• Kenaikan produksi (b) = 5 ton

Ditanyakan:

• Jumlah produksi selama 1 tahun (S₁₂)

Penyelesaian:

Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)

S₁₂ = 12/2 (2(100) + (12 - 1).5)

S₁₂ = 6(200 + 55)

S₁₂ = 6(255)

S₁₂ = 1.530

Jadi, Jumlah pupuk yang diproduksi selama 1 tahun adalah 1.530 ton.

(JAWABAN: D)

Soal 3

Seorang pemetik kebun memetik jeruknya setiap hari, dan mencatat banyaknya jeruk yang dipetik.  Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 50 + 25n. Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari yang pertama adalah .......

A. 2.000 buah

B. 1.950 buah

C. 1.900 buah

D. 1.875 buah

E. 1.825 buah

Pembahasan:

Diketahui Un = 50 + 25n, maka:

U₁ = 50 + 25(1) = 75

U₁₀ = 50 + 25(10) = 300

Sn = n/2 (a + Un)

S₁₀ = 10/2 (75 + 300)

      = 5(375)

      = 1.875

Jadi, jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama adalah 1.875 buah

(JAWABAN: D)

Soal 4

Seorang pegawai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah ....

A. Rp7.500.000,00

B. Rp8.000.000,00

C. Rp52.500.000,00

D. Rp55.000.000,00

Pembahasan:

Diketahui:

• Gaji awal (a) = 3.000.000
• Kenaikan gaji (b) = 500.000

Ditanyakan:

• Jumlah gaji selama 10 tahun (S₁₂).

Penyelesaian:

Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)

S₁₀ = 10/2 (2(3.000.000) + ((10-1).(500.000))

S₁₀ = 5(6.000.000 + 4.500.000)

S₁₀ = 5(10.500.000)

S₁₀ = 52.500.000

Jadi, Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah Rp52.500.000,00

(JAWABAN: C)

Soal 5

Sebuah besi dipotong menjadi 5 bagian, sehingga membentuk barisan aritmatika. Jika panjang besi terpendek 1,2 m dan terpanjang 2,4 m, maka panjang besi sebelum dipotong adalah ....

A. 7,5 m

B. 8,0 m

C. 8,2 m

D. 9,0 m

Pembahasan:

Diketahui:

• Besi terpendek (a) = 1,2
• Besi terpanjang (U₅) = 2,4

Ditanyakan:

• Panjang besi sebelum dipotong (S₅).

Penyelesaian:

Sn = n/2 (a + Un)

S₅ = 5/2 (1,2 + 2,4)

S₅ = 5/2 (3,6)

S₅ = 5(1,8)

S₅ = 9,0

Jadi, panjang besi sebelum dipotong adalah 9,0 meter.

(JAWABAN: D)

Soal 6

Dari suatu barisan aritmatika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah...

A.   840

B.   660

C.   640

D.   630

E.   315

Pembahasan:

Un = a + (n - 1)b

 ➧ U₃ = 36

    a + 2b = 36

    a = 36 - 2b  .............(1)

➧ U₅ + U₇ = 144

   (a + 4b) + (a + 6b) = 144

   2a + 10b = 144

   a + 5b = 72  .............(2)

➧ Subtitusi pers. (1) ke pers. (2) diperoleh:

   (36 - 2b) + 5b = 72

   36 + 3b = 72

   3b = 72 - 36

   3b = 36

   b = 12

➧ Subtitusi nilai b = 12 ke pers. (1) diperoleh:

   a = 36 - 2(12)

   a = 36 - 24

   a = 12

➧ Jumlah sepuluh suku pertama (S₁₀)

   S₁₀ = ¹⁰/₂ (2(12) + (10 - 1)12)

   S₁₀ = 5(24 + (9)12)

   S₁₀ = 5(24 + 108)

   S₁₀ = 5(132)

   S₁₀ = 660

Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 660

(Jawaban: B)

Soal 7

Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp50.000,00, bulan kedua Rp55.000,00, bulan ketiga Rp60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama 2 tahun adalah...

A.   Rp1.315.000,00

B.   Rp1.320.000,00

C.   Rp2.040.000,00

D.   Rp2.580.000,00

E.   Rp2.640.000,00

Pembahasan:

Diketahui:

• Suku Pertama (a) = 50 (dalam ribuan)
• Beda (b) = 5 (dalam ribuan)
• Besar tabungan dalam 2 tahun (24 bulan)

Ditanya: 

• Besar tabungan selama 2 tahun.

Penyelesaian:

   Sn = n/₂ (2a + (n - 1).b)

   Sn = ²⁴/₂ (2(50) + (24 - 1)5)

   Sn = 12 (100 + (23)5)

   Sn = 12 (100 + 115)

   Sn = 12 (215)

   Sn = 2.580

Jadi, besar tabungan anak tersebut selama 2 tahun adalah Rp.2.580.000,00

(Jawaban: D)

Soal 8

Seorang ibu mempunyai 5 orang anak yang usianya membentuk suatu barisan aritmatika. Jika sekarang usia si bungsu 15 tahun dan si sulung 23 tahun, maka jumlah usia kelima orang tersebut 10 tahun yang akan datang adalah...

A. 95 tahun

B. 105 tahun

C. 110 tahun

D. 140 tahun

E. 145 tahun

Pembahasan:

➧ Usia si Bungsu 15 tahun

   10 Tahun kemudian (U₁) = 15 + 10 = 25 Tahun

➧ Usia si Sulung 23 tahun

   10 Tahun kemudian (U₅) = 23 + 10 = 33 Tahun

➧ Jumlah usia kelima orang tersebut 10 tahun yang akan datang (S₁₀)

    Sn = n/₂ (a + Un)

    S₅ = ⁵/₂ (25 + 33)

    S₅ = ⁵/₂ (58)

    S₅ = 145

Jadi, jumlah usia kelima orang tersebut 10 tahun yang akan datang adalah 145 tahun

(Jawaban: D)

Barisan Geometri

Soal 1

Suatu barisan geometri diketahui suku ke-3 adalah 3 dan suku ke-6 adalah 81. Maka suku ke-8 adalah...

A. 729

B. 612

C. 542

D. 712

E. 681

Pembahasan:

Diketahui:

• U₃ = ar² = 3
• U₆ = ar⁵ = 81

Ditanya: U₈ ?

Penyelesaian:

ar⁵/ar² = 81/3

r³ = 27

r   = 3

ar² = 3

a.(3)² = 3

9a = 3

  a = 1/3

Sehingga;

U₈ = ar⁷ 

      = (1/3). (3)⁷  

      = (1/3). (2.187)

      = 729

Jadi,  U₈ adalah 729.

(Jawaban: A)

Soal 2

Diketahui barisan geometri: 1, a, b, c, d, e, 1/64, p, q. Tentukan nilai c!

Pembahasan:

Diketahui:

• U₁ = a = 1
• U₇ = ar⁶ = 1/64

Ditanya: nilai c (U₄)?

Penyelesaian:

ar⁶ = 1/64

(1).r⁶ = 1/64

r⁶ = 1/64

r   = 1/2

Sehingga:

U₄ = ar³ 

     = (1) . (1/2)³ 

     = (1/2)³ 

     = 1/8

Jadi, suku ke-4 dari barisan geometri diatas adalah 1/8.

Soal 3

Seutas tali dipotong menjadi 4 bagian, potongan-potongan membentuk barisan geometri. Jika potongan tali terpendek adalah 2 cm dan potongan tali terpanjang adalah 54 cm, panjang tali U₂ + U₃ adalah...

Pembahasan:

Diketahui:

• U₁ = a = 2
• U₄ = ar³ = 54

Ditanya: U₂ + U₃ ?

Penyelesaian:

ar³ = 54

(2).r³ = 54

r³ = 27

r   = 3

Sehingga:

U₂ = ar¹ = (2).(3)¹ = 6

U₃ = ar² = (2).(3)² = 18

U₂ + U₃ = 6 + 18 = 24

Jadi, panjang tali ke-2 dan ke-3 adalah 24 cm.

Deret Geometri

Soal 1

Diketahui deret geometri dengan suku pertama adalah 6 dan suku keempat adalah 48. Jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah...

Pembahasan:

Diketahui:

• U₁ = a = 6
• U₄ = ar³ = 48

Ditanya: S₈?

Penyelesaian:

ar³ = 48

(6).r³ = 48

r³ = 48/6

r³ = 8

r   = 2

Sehingga:

S_n = a.(1 - rⁿ)/(1 - r)

S₈ = (6).(1 - 2⁸) / (1 - 2)

S₈ = (6).(-255) / (-1)

S₈ = 1.530

Jadi, jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah 1.530

Soal 2

Pertambahan penduduk di Kota Bandar Lampung mengikuti barisan geometri. Pertambahan penduduk pada tahun 2015 sebesar 250 dan pada tahun 2018 sebesar 2000. Berapakah jumlah pertambahan penduduk sampai tahun 2021?

Pembahasan:

Diketahui:

• U₁ = a = 250
• U₄ = ar³ = 2000

Ditanya: S₇ ?

Penyelesaian:

ar³ = 2000

(250).r³ = 2000

r³ = 2000/250

r³ = 8

r   = 2

Sehingga:

S_n = a.(1 - rⁿ)/(1 - r)

S₇ = (250).(1 - 2⁷) / (1 - 2)

S₇ = (250).(-127) / (-1)

S₇ = 31.750

Jadi, jumlah penduduk Kota Bandar Lampung sampai tahun 2021 adalah 31.750 penduduk.